命題２３

　対応する角が等しい平行四辺形は、互いにそれらの辺の比の複比を持つ。

　ACとCFを対応する角が等しい、つまり、角BCDは角ECGと等しい平行四辺形とせよ。

　平行四辺形ACは平行四辺形CFに対し、辺の比の複比をもつと主張する。

　それらを、BCとCGが一直線になるように置く。

　そのとき、DCもまたCEと一直線になる。proposition�T．１４

　平行四辺形DGを完成させる。proposition�T.３１

　線分Kを並べて、KをBCはCGに対して、KがLに対するように作り、また、DCはCEに対して、LはMに対すようにする。proposition�Y．１２

　そのとき、KがLに対する比と、LがMに対する比は辺が対する比と同じで、つまり、BCはCGに対し、DCはCEに対する。

　しかし、KがMに対する比は、KがLに対する比と、LがMに対する比で合成され、つまり、KはまたMに対して、辺の比の複比をもつ。

　今、BCはCGに対して、平行四辺形ACは平行四辺形CHに対し、また、BCはCGに対して、KはLに対するので、それゆえに、KはLに対して、ACはCHに対する。proposition�Y．１、proposition�X．１１

　再び、DCはCEに対して、平行四辺形CHは平行四辺形CFに対し、また、DCはCEに対して、LはMに対するので、それゆえに、LはMに対して、CHはCFに対する。proposition�Y．１、proposition�X．１１

　KはLに対して、平行四辺形ACは平行四辺形CHに対し、また、LはMに対して、平行四辺形CHは平行四辺形CFに対することは証明されているので、それゆえに、等間隔比により、KはMに対して、平行四辺形ACは平行四辺形CFに対する。proposition�X．２２

　しかし、KはMに対して、辺の複比をもっている。

　それゆえに、ACもまたCFに対して、辺の複比をもっている。

　それゆえに、対応する角が等しい平行四辺形は、互いにそれらの辺の比の複比を持つ。

証明終了

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